他先是恭敬地说道：“老先生孜孜不倦，探求解法优化之道，此等治学精神，晚生深感敬佩。” 顿了顿，他话锋一转，以谦逊探讨的语气继续说道：“晚生昔日偶阅杂书，曾见一种思路，或可称之为‘立式消元法’，其核心在于先不急于求解具体数目，而是设立未知，理清关系，再通过算式运算直接求解。不知此法是否可行，还请老先生指正。”

“立式消元法？设立未知？”老者闻言，眼中瞬间爆发出强烈的好奇光芒，身体不自觉地微微前倾，“小哥儿快请细说！这‘未知’如何设立？关系又如何理清？”

见老者兴趣如此浓厚，陈彦便不再犹豫，取过一张空白草纸，拿起笔，一边写一边讲解：“老先生，我们可先设两个符号，代表所求之数。譬如，设笼中鸡数为‘甲’，兔数为‘乙’。此‘甲’、‘乙’，便是我们暂时不知，但欲求之数，可视为占位之符。”

老者紧紧盯着纸上的“甲”和“乙”，若有所思，缓缓点头：“嗯，以符号代未知，如同为其先定一名，以便后续推演……有意思，请继续。”

“既设未知，便可依据题意，将已知条件转化为包含这些未知数的等式。”陈彦在纸上写下第一个等式：“据‘上有三十五头’，鸡兔皆一头，故有：甲 + 乙 = 三十五。”

接着，他写下第二个等式：“据‘下有九十四足’，鸡二足，兔四足，故有： 二乘甲 + 四乘乙 = 九十四。”

两个清晰的等式呈现在纸上。

老者看着这两个式子，目光闪烁，似乎捕捉到了什么，但尚未完全明晰，催促道：“妙！将头足之条件，化为两式，关系一目了然。然则，如何由此二式求得甲、乙之值？”

“这便是‘消元’之妙用。”陈彦继续引导，“我们的目标，是消去一个未知数，先解出另一个。观察两式，可见第一式较为简单。若我们能将两式中某个未知数的系数变得相同，便可相减消去之。”他指着第一个等式，“譬如，将‘甲 + 乙 = 三十五’ 此式，左右两边同乘以二，则得： 二乘甲 + 二乘乙 = 七十。”

“同乘以二……使得甲之系数与第二式相同？”老者喃喃道，眼中精光渐盛。

“正是如此。”陈彦点头，用笔将新得到的式子与第二个式子并列，“现在，我们便有：

式一（新）： 二甲 + 二乙 = 七十

式二（原）： 二甲 + 四乙 = 九十四

请注意，此时两式中，‘二甲’的系数相同。我们用式二减去式一：

（二甲 + 四乙） 减去 （二甲 + 二乙） = 九十四 减去 七十

左边，二甲减二甲得零，四乙减二乙得 二乙。

右边，九十四减七十得 二十四。

故而，我们得到： 二乙 = 二十四。”

写到此处，陈彦停顿了一下，看向老者。

老者猛地一拍大腿，脸上露出极度兴奋和恍然大悟的神情，声音都提高了些许：“哎呀！原来如此！如此一来，兔数乙便跃然纸上矣！ 乙 = 二十四 除以 二 = 十二！妙啊！真是妙不可言！”

陈彦微笑颔首，接着说道：“老先生明鉴。既得兔数十二，再代入最初的头数关系式：甲 + 十二 = 三十五，故 甲 = 三十五 减 十二 = 二十三。鸡兔之数皆得。可验算之：鸡足二十三乘二得四十六，兔足十二乘四得四十八，合计九十四足，完全符合题意。”